Рациональные уравнения определение, Дробно-рациональные уравнения
Определение Дробное рациональное уравнение представляет собой запись, в которой одна или обе части содержат дробь. Ответьте на несколько вопросов, а я помогу за 5 минут подобрать подходящие варианты обучения. Количественные и качественные методы исследования. Данный тип уравнений отличается тем, что содержит в знаменателе выражение с переменной.
Ответьте на несколько вопросов, а я помогу за 5 минут подобрать подходящие варианты обучения. Это бесплатно! Готовая программа с онлайн-занятиями, заданиями и поддержкой куратора.
Индивидуальные занятия с удобным расписанием и персональным подходом. Домашняя школа. Бесплатные занятия. Вебинары на разные темы для школьников и их родителей. Бесплатные материалы по всем предметам и тренажёры для закрепления знаний. Учёба в Фоксфорде.
Мобильное приложение. Дискриминант второго уравнения отрицательный. Это значит, что действительных корней у второго уравнения нет.
Целые уравнения высоких степеней попадаются в задачах достаточно часто. Пугаться их не нужно. Нужно быть готовым применить нестандартный метод их решения, в том числе и ряд искусственных преобразований. Решение остальных дробно рациональных уравнений всегда можно свести к решению уравнений указанного вида.
Если это условие выполняется, то найденный корень является корнем исходного уравнения. Если нет, то корень не является решением задачи. Для этого подставим числовое значение в выражение. Условие выполняется. Ответ: 2 3.
Для вычисления его корней мы используем формулу корней для четного второго коэффициента. Теперь мы можем найти ОДЗ переменной x для исходного уравнения. Мы видим, что входят. Корни могут быть и рациональными, но с большим числителем или знаменателем. Это связано с тем, что в таких случаях сделать проверку обычно проще, чем найти ОДЗ. Для этого применим метод решения уравнений через разложение на множители. Проведем проверку полученных корней.
Определить ОДЗ в данном случае нам сложно, так как для этого придется провести решение алгебраического уравнения пятой степени. Проще будет проверить условие, по которому знаменатель дроби, которая находится в левой части уравнения, не должен обращаться в нуль.
Найдем его корни. Используем формулу корней квадратного уравнения для поиска корней. Подставлять значение корней в исходное уравнение для проверки условий нам будет достаточно сложно.
Проще будет определить ОДЗ переменной x.
Теперь проверим, принадлежат ли найденные нами корни к области допустимых значений переменной x. В таких случаях, если в числителе находится число, отличное от нуля, то уравнение не будет иметь корней. Если это число будет равно нулю, то корнем уравнения будет любое число из ОДЗ.
Данное уравнение не будет иметь корней, так как в числителе дроби из левой части уравнения находится отличное от нуля число.
Это значит, что ни при каких значениях x значение приведенной в условии задачи дроби не будет равняться нулю. Так как в числителе дроби находится нуль, решением уравнения будет любое значение x из ОДЗ переменной x. Теперь определим ОДЗ. Теперь поговорим о дробных рациональных уравнениях произвольного вида и методах их решения. Мы уже знаем, что мы можем получить равносильное уравнение при переносе выражения из правой части уравнения в левое с противоположным знаком.
Также мы уже разобрали способы преобразования рационального выражения в рациональную дробь. В связи с этим в каждом случае необходимо проводить проверку любым из описанных выше способов. Преобразуем дробное рациональное выражение в левой части уравнения к виду p x q x. Подставим полученное значение в исходное уравнение. Теперь проведем проверку через ОДЗ. Определим область допустимых значений переменной x.
Это значит, что он является корнем исходного уравнения. Корень этого уравнения — нуль. Проверим, не является ли этот корень посторонним для исходного уравнения. Как видите, полученное уравнение не имеет смысла. Единственным недопустимым значением для x в данном задании является число 3, которое не входит в ОДЗ. На первом этапе необходимо выполнить перенос всех слагаемых влево, привести дроби к минимальному единому знаменателю:. Данные значения переменной х являются недопустимыми, так как в этом случае теряется смысл дроби в связи с тем, что знаменатель принимает нулевое значение.
Заметим, что 2 не входит в область допустимых значений. В связи с этим, можно заключить, что у уравнения отсутствуют корни.
При умножении обеих частей уравнения на единый знаменатель всех дробей и сокращении аналогичных выражений, которые записаны в числителе и знаменателе, получим:. Для дальнейших действий следует определить, к какому виду относится полученное уравнение. В нашем случае уравнение является квадратным с коэффициентом при , который равен 1. Таким образом, целесообразно воспользоваться теоремой Виета:. Раз ты дочитал это до конца, вероятно, ты все отлично усвоил.
Дробно-рациональными уравнениями называют такие выражения, которые представляется возможным записать, как: при P x и Q x в виде выражений, содержащих переменную. Дробно-рациональные уравнения: Уравнения, которые не являются дробно-рациональными:. Умножим на этот знаменатель уравнение: Сократим дроби, избавимся от скобок, приведем подобные слагаемые: Потребуется решить квадратное уравнение: Первый корень не удовлетворяет условиям ОДЗ, поэтому в ответ нужно записать только второй корень.
Дано дробно-рациональное уравнение, корни которого требуется найти: Решение В первую очередь следует переместить все слагаемые влево и привести дроби к минимальному единому знаменателю: Заметим, что получилось нулевое значение для дроби. На основании этого можно составить систему: Следует определить такие значения для переменной, при которых в дроби знаменатель будет обращаться в нуль. Такие значения необходимо удалить из ОДЗ: Далее можно определить значения для переменных, которые при подстановке в уравнение обращают числитель в нуль: Получилось квадратное уравнение, которое можно решить: Сравнив корни с условиями области допустимых значений, можно сделать вывод, что оба корня являются решениями данного уравнения.
Ответ: 5; Нужно решить дробно-рациональное уравнение: Решение На первом шаге следует перенести все слагаемые в одну сторону и привести дроби к минимальному единому знаменателю: Перечисленные значения переменной обращают знаменатель в нуль. Корни квадратного уравнения: Заметим, что второй корень не соответствует ОДЗ. Ответ: Найти корни уравнения: Решение Согласно стандартному алгоритму решения дробно-рациональных уравнений, выполним перенос всех слагаемых в одну сторону.
